COURS // MAT4331 Géométrie différentielle et mécanique analytique
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Description du cours
Ce cours est inactif.
- Cycle : 1
- Type de cours : Magistral
- Nombre de crédits : 3
- Discipline : Mathématiques
Description
Introduire à la géométrie différentielle et à ses applications, principalement à la mécanique lagrangienne. Géométrie des courbes (vecteurs tangents et de courbure, plan et cercle osculateurs). Surfaces régulières dans l'espace, exemples, expression en coordonnées de la métrique induite, géodésiques, exemples et calcul. Généralisation aux dimensions supérieures: exemples des sphères et des tores. Définition des sous-variétés de l'espace euclidien, de leur métrique induite, avec calculs d'exemples classiques. Applications à la mécanique lagrangienne. Principe de Galilée et mécanique newtonnienne. Coordonnées généralisées, définition du lagrangien, principe de Fermat et de moindre action, variation première des fonctionnelles, équation d'Euler-Lagrange, exemples: lagrangien d'une particule libre, d'un système de points matériels, d'un système non fermé. Applications: pendule double, particule dans un champs de force centrale. Géométrie extrinsèque et intrinsèque des surfaces: seconde forme fondamentale, application de Gauss, courbure extrinsèque, exemples, courbure moyenne et surfaces minimales. Théorème Egregium de Gauss, connexion, courbure et théorème de Gauss-Bonnet.
